Profondeur, dimension et résolutions en algèbre commutative

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Cet ouvrage d'algèbre commutative porte sur la théorie de la profondeur. Nous nous efforçons d'en fournir une approche épurée d'hypothèse noethérienne dans l'espoir d'échapper aux idéaux premiers et ceci afin de manier des objets élémentaires et explicites (complexes algébriques de Koszul et de Cech). Dans le cadre de la cohomologie de Cech, nous avons établi la longue suite exacte de Mayer-Vietoris avec un traitement reposant uniquement sur le maniement des éléments. La caractérisation de la dimension de Krull en termes de monoïdes bords permet de montrer de manière expéditive le théorème d'annulation de Grothendieck en cohomologie de Cech. Nous fournissons également un algorithme permettant de compléter un polynôme homogène en un h.s.o.p. La profondeur est intimement liée à la théorie des résolutions libres finies (cf. le théorème de Ferrand-Vasconcelos). Nous revisitons une construction due à Tate permettant d'expliciter une résolution projective totalement effective de l'idéal d'un point lisse d'une hypersurface. Enfin nous abordons la théorie de la régularité en dimension 1 en fournissant un algorithme implémenté en Magma calculant l'anneau des entiers d'un corps de nombres.