Monotonie: Lösbarkeit und Numerik bei Operatorgleichungen

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E.1 Bei der Untersuchung allgemeiner Operatorgleichungen spie­ len Lipschitz- und Wachstumsbeschrankungen eine zentrale Rolle. 1m FaIle von Gleichungen in reellen Funktionenraumen konnen Lipschitz­ konstante oder Wachstumsbeschrankung durchweg als monotone Operatoren interpretiert werden. Dieser Sachverhalt legt es nahe, das Prinzip der Monotonie in den Mittelpunkt der Behandlung von Opera­ torgleichungen zu rticken. Hierdurch ist der Ausgangspunkt des vor­ liegenden Buches gekennzeichnet. Die Begriffe Lipschitz- und Wachs­ tumsbeschrankung beschreiben zugleich den Charakter der nichtlinearen Aufgaben, welche betrachtet werden sollen. E.2 Monotone Operatoren setzen die Struktur einer Halbordnung auf ihren Definitions- und Wertebereichen voraus. Die Kapitel lund II geben eine EinfUhrung in die Theorie der halbgeordneten Vektor­ raume, welche hauptsachlich das Zusammenspiel von Ordnungsstruktur und Normtopologie diskutiert. Dieser Stoff ist tiblicherweise in den Lehrbtichern als Teil einer allgemeinen Theorie halbgeordneter topo­ logischer Vektorraume zu find en. Es ware schon, wenn hier eine brauch­ bare Darstellung fUr solche Leser gelungen sein sollte, welche sich nur fUr den im Text behandelten Ausschnitt interessieren. 1m Mittelpunkt der Kapitel III, IV und V steht die iterative Be­ handlung von Operatorgleichungen. Damit sind Existenzfragen und praktische Berechnung gemeinsam angesprochen. Der Weg tiber ein Iterationsverfahren fordert von dem monotonen linear en Operator, welcher die Lipschitzkonstante oder den linearen Teil der Wachstums­ beschrankung ausmacht, daB sein Spektralradius im Intervall [0, 1) liegt. 1m Lipschitzbeschrankten Fall ist dies Ausdruck der Kontraktion.