Kommutative Algebra

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Quelle: Wikipedia. Seiten: 34. Kapitel: Integritätsring, Euklidischer Ring, Cramersche Regel, Lokalisierung, Modul, Polynomring, Torsion, Bewertungstheorie, Satz über den Einsetzungshomomorphismus, Duale Zahlen, Monoidring, Lokaler Ring, Sätze von Cohen-Seidenberg, Hilbertscher Syzygiensatz, Faktorieller Ring, Derivation, Normalität, Einfacher Modul, Radikal, Noetherscher Ring, Kähler-Differential, Hilbertscher Nullstellensatz, Primideal, Maximales Ideal, Laurent-Polynom, Spektrum eines Ringes, Endlichkeitsbedingungen der algebraischen Geometrie, Frobeniushomomorphismus, Adjunktion, Dimension, Diskreter Bewertungsring, Gebrochenes Ideal, Flachheit, Dedekindring, Jordan-Algebra, Regulärer lokaler Ring, Hilbertscher Basissatz, Ganzheit, Noetherscher Normalisierungssatz, Krullring. Auszug: Die cramersche Regel oder Determinantenmethode ist eine mathematische Formel für die Lösung eines linearen Gleichungssystems. Sie ist bei der theoretischen Betrachtung linearer Gleichungssysteme hilfreich. Für die Berechnung einer Lösung ist der Rechenaufwand jedoch in der Regel zu hoch, da dabei verhältnismäßig viele Determinanten auftreten. Deshalb kommen dazu andere Verfahren aus der numerischen Mathematik zum Einsatz. Die cramersche Regel geht zurück auf Gabriel Cramer, der sie im Jahr 1750 veröffentlichte. Ausgangspunkt für die cramersche Regel ist ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit Koeffizientenmatrix A und rechter Seite b, also in der Form , das genau so viele Gleichungen wie Unbekannte hat (A ist quadratisch) und eindeutig lösbar ist. Die eindeutige Lösbarkeit ist genau dann gegeben, wenn .In diesem Fall ist die Lösung eindeutig bestimmt, durch für alle .Die Matrix wird gebildet, indem die i-te Spalte der Koeffizientenmatrix (A) durch die rechte Seite des Gleichungssystems (b) ersetzt wird. Diesem Beispiel liegt das folgende lineare Gleichungssystem zu Grunde: Die erweiterte Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems ist dann: Nach der cramerschen Regel berechnet sich dessen Lösung wie folgt: Die senkrechten Striche sind eine gebräuchliche Notation der Determinante. Diesem Beispiel liegt das folgende lineare Gleichungssystem zu Grunde: Die erweiterte Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems ist dann: Nach der cramerschen Regel berechnet sich die Lösung des Gleichungssystems wie folgt: Die senkrechten Striche sind eine gebräuchliche Notation der Determinante. Die cramersche Regel wurde 1750 von Gabriel Cramer im Anhang 1 seines Buchs "Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques" veröffentlicht. Er gab darin explizit die Formeln für lineare Gleichungssysteme mit bis zu drei Gleichungen an und beschrieb, wie man die Lösungsformeln für Gleichungssysteme mit mehr Gleichungen erstellen kann. Da die Determinante noch nicht eingeführt war, verwendete