Espace métrique

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Source: Wikipedia. Pages: 55. Chapitres: Distance remarquable, Espace vectoriel normé, Suite de Cauchy, Espace de Banach, Opérateur adjoint, Espace préhilbertien, Distance de Hausdorff, Norme, Théorème de Hahn-Banach, Compacité séquentielle, Ultralimite, Distance de Hamming, Continuité uniforme, Espace complet, Théorème de Banach-Schauder, Théorème de Riesz, Métrique, Théorème de Banach-Steinhaus, Norme d'opérateur, Algèbre de Banach, Théorème du point fixe de Schauder, Norme équivalente, Distance ultramétrique, Boule, Métrique d'Alcubierre, Espace polonais, Opérateur non borné, Distance de Bhattacharyya, Espace pseudométrique, Espace réflexif, Théorème du graphe fermé, Partie bornée, Distance de Hellinger, Espace uniformément convexe, Coercivité, Théorème des fermés emboités, Équivalence des distances, Espace quasimétrique, Métrique de Kasner, Complément orthogonal, Distance de chanfrein, Distance de Manhattan, Espace semimétrique, Espace hémimétrique, Espace lisse, Distance du grand cercle, Carte de distances, Norme ultramétrique, Théorème d'interversion des limites, Algèbre normée, Complétion, Lemme de Lebesgue, Espace métrisable, Distance procrustéenne, Distance angulaire, Boule fermée, Boule ouverte, Théorème de Baire-Banach. Extrait: En mathématiques l'adjoint d'un opérateur, quand il existe, est un nouvel opérateur défini sur un espace vectoriel sur le corps des nombres réels ou complexes, muni d'un produit scalaire. Un tel espace est qualifié de préhilbertien. Si l'opérateur initial est continu et si l'espace vectoriel est complet l'adjoint est toujours défini. Cette configuration se produit toujours en dimension finie. L'application qui, à un opérateur associe son adjoint, est semilinéaire continue bijective. Cette fonction est même une isométrie involutive. L'espace des opérateurs se décompose en deux sous-espaces vectoriels supplémentaires orthogonaux. Ce sont des espaces propres de l'application associés aux valeurs propres 1 et -1. Certains opérateurs disposent d'une compatibilité vis-à-vis du produit scalaire. Tel est le cas si un opérateur commute avec son adjoint. Il est alors dit normal. Trois cas sont importants, celui d'un opérateur opérateur autoadjoint (adjoint de lui-même), antiautoadjoint (adjoint de son opposé) et unitaire (inverse de son adjoint). Sur un espace vectoriel réel, les termes utilisés sont respectivement : symétrique, antisymétrique et orthogonal. La notion d'adjoint d'un opérateur possède de nombreuses applications. En dimension finie et sur le corps des nombres complexes, la structure des endomorphismes normaux est simple, ils sont diagonalisables dans une base orthonormale. Le cas de la dimension infinie est plus complexe. Il est important en analyse fonctionnelle. Le cas autoadjoint est particulièrement étudié, il fournit le cadre le plus simple de la théorie spectrale. En théorie des opérateurs, une C*-algèbre est un espace de Banach muni d'une loi de composition interne analogue à la composition des opérateurs et d'une opération étoile ayant les mêmes propriétés que l'application qui, à un opérateur associe son adjoint. L'adjoint d'un opérateur est une notion correspondant à des situations fort différentes. Elle peut être appliquée dans le cas d'un espace euc