Einführung in die Grundlagen der Geometrie, Vol. 1 (Classic Reprint)

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Excerpt from Einführung in die Grundlagen der Geometrie, Vol. 1Hier mufs zunachst auffallen, dafs die beiden letzten Postulate ihrem Inhalt nach von den drei ersten wesentlich verschieden sind: die ersteren betreffen die Möglichkeit gewisser Konstruk tionen, die'letzteren stellen eigentliche Behauptungen auf. Man hat denn auch in späterer Zeit diese beiden Postulate den xowal 5vvocaa hinzugefügt und speziell das ai'r'mm 5 als elftes Axiom bezeichnet. Aber seit langem hat man es als einen Mangel em pfunden, dafs dieser Satz ohne Beweis in den Anfang der Geo metrie gesetzt ist. Zum eigentlichen Axiom ist derselbe eben zu speziell: zwei gerade Linien, in derselben Ebene gelegen und von einer dritten Geraden geschnitten warum, so mufs man fragen, kommt es da auf die Winkelsumme an? Wer bei Euklid selbst die Antwort auf diese Frage sucht, mufs recht lange warten. In den sechsundzwanzig ersten Sätzen wird auf dieses aq, ua kei nerlei Rücksicht genommen. Erst die Propositio 27 beweist den Satz: Wenn zwei Gerade von einer dritten so geschnitten werden, dafs die Wechselwinkel gleich sind, so sind die Geraden parallel. Daraus schliefst Propositio 28, dafs auch dann die Ge raden parallel sind, wenn die innern, an derselben Seite der schneidenden Geraden liegenden Winkel zwei Rechte betragen. Endlich bringt Propos. 29 den Satz: wenn zwei parallele Linien von derselben Geraden geschnitten werden, so sind die Wechsel winkel gleich u. S. Und beim Beweise gebraucht Euklid sein air1, , ua 5, um es sodann an keiner späteren Stelle wieder zu be nutzen. Somit hat Euklid einfach die Umkehrung eines gewissen Satzes (prop. 28) als Forderung ohne Beweis an die Spitze gestellt. Dafs ein solches Verfahren mangelhaft ist, kann keinem Zweifel unterliegen.About the PublisherForgotten Books publishes hundreds of thousands of rare and classic books. Find more at www.forgottenbooks.comThis book is a reproduction of an important historical work. Forgotten Books uses state-of-the-art technology to digitally reconstruct the work, preserving the original format whilst repairing imperfections present in the aged copy. In rare cases, an imperfection in the original, such as a blemish or missing page, may be replicated in our edition. We do, however, repair the vast majority of imperfections successfully, any imperfections that remain are intentionally left to preserve the state of such historical works.