Ebene Geometrie

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Quelle: Wikipedia. Seiten: 91. Kapitel: Goldener Schnitt, Quadratur des Kreises, Kegelschnitt, Planimetrie, Innenwinkel, Spiegelverkehrtes Bild, Konstruktion, Winkelsumme, Tangente, Sekante, Konfokal, Streckensymmetrale, Passante, Strahlensatz, Brennpunkt, Kongruenzabbildung, Rytzsche Achsenkonstruktion, Quadratrix des Hippias, Ebene, Penrose-Parkettierung, Apollonisches Problem, Winkelhalbierende, Scheinbare Größe, Dreiteilung des Winkels, Satz von Desargues, Satz von Descartes, Simsonsche Gerade, Inversion, Parallelogrammgleichung, Wang-Parkettierung, Gleitspiegelung, Satz des Thales, Pol und Polare, Satz von Pick, Satz von Casey, Peripherie, Halbachsen der Ellipse, Harmonische Teilung, Reuleaux-Dreieck, Gleichdick, Gaußsche Trapezformel, Näherungskonstruktion von Kochanski, Satz von Pappos, Radius, Möndchen des Hippokrates, Höhe, Quadratur des Rechtecks, Quadrant, Fagnano-Problem, Arbelos, Halbebene, Konzentrizität, Mittelparallele, Gärtnerkonstruktion, Potenzgerade, Satz von Marden, Fasskreisbogen, Satz von Carnot, Sekantensatz, Sehne, Satz von Steiner-Lehmus, Exhaustionsmethode, Umfang, Girih-Kacheln, Würfelverdoppelung, Satz von Pascal, Pizza-Theorem, Sehnensatz, Spidron, Japanischer Satz für Sehnenvierecke, Stumpfer Winkel, Schmetterlingssatz, Außenwinkel, Satz von Brahmagupta, Sekanten-Tangenten-Satz, Satz von Brianchon, Satz des Dinostratos, Richtungswinkel, Japanischer Satz für in einen Kreis einbeschriebene Polygone, Konjugierte Durchmesser, Sagitta-Methode, Einheitsquadrat, Quadratgitter, Flächendeckung, Planfigur, Konzyklische Menge. Auszug: Beim Goldenen Schnitt (lateinisch: sectio aurea) oder auch bei der Goldenen Teilung - seltener beim Göttlichen Schnitt oder bei der Göttlichen Teilung (lateinisch: proportio divina) - entsteht ein bestimmtes Verhältnis zwischen zwei Zahlen oder zwei Größen. Dieses Verhältnis ist die Goldene Zahl (Phi) (oder das Goldene Verhältnis oder das Göttliche Verhältnis) und hat den Wert Zum Beispiel stehen zwei Teile einer Strecke im Verhältnis , wenn sich der größere zum kleineren Teil verhält wie die ganze Strecke zum größeren Teil. Streckenverhältnisse wie beim Goldenen Schnitt werden seit der griechischen Antike als Inbegriff von Ästhetik und Harmonie angesehen. Sie werden als ideale Proportionen in Kunst und Architektur angewendet, kommen aber auch in der Natur vor. Das Goldene Verhältnis ist häufig bei der Bildkomposition in der Malerei zu finden und wird heute oft in der Photographie verwendet. Es zeichnet sich durch eine Reihe besonderer mathematischer Eigenschaften aus. Umgangssprachlich wird Goldener Schnitt auch für die Goldene Zahl beziehungsweise für das Goldene Verhältnis gebraucht. Das Rechteck mit den Seiten a und b entspricht genau dann dem Goldenen Schnitt, wenn das auch für das Rechteck mit den Seiten a+b und a der Fall ist. Ein Goldenes Rechteck lässt sich daher stets in ein kleineres, ebenfalls Goldenes, und ein Quadrat zerlegen (animierte Darstellung).Zwei reelle Zahlen , zum Beispiel die Längen zweier Strecken, stehen genau dann im Verhältnis des Goldenen Schnitts, wenn die Gleichung gilt. In Worten bedeutet dies, dass sich die größere zur kleineren verhält wie die Summe aus beiden zur größeren. Diese Eigenschaft ist ein Beispiel von Selbstähnlichkeit: Subtrahiert man die kürzere der beiden Strecken von der längeren, so erhält man eine noch kürzere Strecke , zu der die mittlere Strecke wiederum im Verhältnis des Goldenen Schnittes steht, also .Die Goldene Zahl ist definiert...