Differentialgeometrie

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Quelle: Wikipedia. Seiten: 92. Kapitel: Tensor, Tangente, Differentialform, Atiyah-Singer-Indexsatz, Krummlinige Koordinaten, Minimalfläche, Kugelkoordinaten, Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten, Satz von Stokes, Floer-Homologie, Pfaffsche Form, Spinor, Indexnotation von Tensoren, Eichtheorie, Kontaktgeometrie, Länge, Torus, Krümmung, Zusammenhang, Dichtebündel, Gromov-Witten-Invariante, Singularitäten-Theorem, Stabile Abbildung, Differenzierbare Mannigfaltigkeit, Verallgemeinerter Laplace-Operator, Vektorfeld, Orientierung, Sphäre, Vektorbündel, Penrosesche graphische Notation, Atiyah-Bott-Fixpunktsatz, Diffeomorphismus, Seifert-Faserung, Poisson-Klammer, Symplektische Mannigfaltigkeit, Abstrakte Index-Notation, Ricci-Fluss, Rekurrenter Tensor, Tensordichte, Einsteinsche Summenkonvention, Tensorverjüngung, Lorentzsche Mannigfaltigkeit, Plateau-Problem, Metrischer Zusammenhang, Integralkurve, Satz vom regulären Wert, Berührung, Pseudotensordichte, Einbettungssatz von Whitney, Konforme Gruppe, Poisson-Mannigfaltigkeit, Hyperfläche, Immersion, Holonomie, Glatte Kurve, Dirac-Spinor, Regulärer Wert, Submersion, Kreuzhaube, Tensorfeld. Auszug: Der Tensor ist ein mathematisches Objekt aus der Algebra und Differentialgeometrie. Der Begriff wurde ursprünglich in der Physik eingeführt und erst später mathematisch präzisiert. Auch heute noch ist die Tensoranalysis ein wichtiges Werkzeug in den physikalischen Disziplinen. Ein Tensor ist eine multilineare Abbildung, also eine Abbildung, welche in jeder Variablen linear ist. Anschaulich, aber mathematisch unpräzise, kann man sich den Tensor als eine mehrdimensionale Matrix vorstellen: Beispielsweise ist der mechanische Spannungstensor in der Physik ein Tensor zweiter Stufe - eine Zahl (Stärke der Spannung) oder ein Vektor (eine Hauptspannungsrichtung) reichen nicht immer aus. Eine Matrix kann als lineare Abbildung aufgefasst werden. So lässt sich der Spannungstensor als Matrix auffassen, die zu einer gegebenen Richtung die Spannung in dieser Richtung ausrechnet. Aber nicht alle Größen mit zwei oder mehr Indizes sind Tensoren (deshalb oben die Bemerkung "... unpräzise"). Das Wort Tensor (lat. tendo: ich spanne) wurde in den 1840er Jahren von Hamilton in die Mathematik eingeführt, er bezeichnete damit den Absolutbetrag seiner Quaternionen, also noch keinen Tensor im modernen Sinn. Maxwell scheint den Spannungstensor, den er aus der Elastizitätstheorie in die Elektrodynamik übertrug, selbst noch nicht so genannt zu haben. In seiner modernen Bedeutung, als Verallgemeinerung von Skalar, Vektor, Matrix, wird das Wort Tensor erstmals von Woldemar Voigt in seinem Buch Die fundamentalen physikalischen Eigenschaften der Krystalle in elementarer Darstellung (Leipzig, 1898) eingeführt. Unter dem Titel absolute Differentialgeometrie entwickelten Gregorio Ricci-Curbastro und dessen Schüler Tullio Levi-Civita um 1890 die Tensorrechnung auf riemannschen Mannigfaltigkeiten, einem größeren Fachpublikum machten sie ihre Ergebnisse 1900 mit dem Buch Calcolo differenziale assoluto zugänglich, das bald in andere Sprachen übersetzt wurde, und aus dem sich Einstein die mathematischen Gr